О ВОЗМОЖНОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИ РЕКОНСТРУИРУЕМОГО ПРОШЛОГО.
Показано, что «наиболее мягкие» обобщения стандартного формализма матрицы плотности, рассматриваемого как основа физического описания системы, не ведут к расхождению с лабораторным опытом, однако модифицируют статус реконструируемого по физическим следам прошлого, как неизменного.
Введение
Традиционно при обсуждении неортодоксальных концепций времени внимание акцентируется на принципе причинности и проблематике обхода причинно-следственных парадоксов. Однако, в практическом плане прошлое представлено нам своими материальными следами, обуславливающими настоящее и будущее, и было бы достаточно интересно иметь возможность изменять такие следы, изменять «физически наблюдаемое» прошлое, а вместе с этим и настоящее и будущее. Такая задача уже не связана с причинно-следственными парадоксами, не имеет отношения к тематике путешествий в прошлое, но с практической точки зрения видимо также важна, если только будут обнаружены возможности, не сводимые к поверхностной переделке следов прошлого, а обусловленные природой пространства-времени.
1. Основы рассмотрения.
При описании физической системы нас будет интересовать динамика матрицы
плотности 
. Стандартное уравнение на матрицу
плотности подразумевает изолированность системы и имеет вид:
Данная работа является прямым продолжением статьи [1], в которой подробно рассматривался статус уравнения (1.1), как связанного с определенными содержательными представлениями об изолируемости систем – фактически (1.1) представляет собой некоторый вариант определения изолированной физической системы. С точки зрения удобств описания некоторых представлений о полной изолированности (1.1) не вызывает нареканий, однако приводит к ряду сложностей в других отношениях – см. [1]. В связи с этим, в [1] рассматривались, наряду с (1.1), более общие феноменологические линейные уравнения на матрицу плотности, имеющие вид
Данные уравнения являются достаточно общими линейными уравнениями для матрицы плотности, способными при соответствующем выборе входящих в них операторов описать любую динамику матрицы плотности. При выполнении (1.2), (если только ) собственные значения матрицы плотности сохраняют неотрицательность, сохраняется также сумма собственных значений – эти два условия вытекают просто из определения матрицы плотности - других же ограничений на изменение матрицы плотности со временем в рамках (1.2) нет. Таким образом, эти уравнения представляют собой некий обладающий общностью язык, на котором можно говорить о физических событиях.
Основанием для использования (1.1) служит то, что оно описывает поведение физических
объектов, и естественно выражает их свойства. Одним из таких свойств является
возможность изолирования физических объектов друг от друга. В терминах (1.1), если параметры первого объекта заданы на
пространстве 
, а второго- на пространстве 
, то для общей матрицы плотности,
заданной на прямом произведении пространств, 
, условие возможности независимого
рассмотрения объектов состоит в том, что гамильтониан системы распадается на
сумму гамильтонианов:
При выполнении последнего условия существует не только уравнение для
общей матрицы плотности, заданной на пространстве , 
, но также и независимые уравнения для
матриц плотностей подсистем, определяемых как
В (1.4) введена операция вычисления следа по подпространству, указываемому нижним индексом при этой операции. Уравнения для подсистем будут иметь вид
(1.5)
Наряду с этим, у уравнения для полной матрицы плотности будут существовать нескоррелированные решения вида
(1.6)
то есть если в начальный момент подсистемы были статистически независимы, эта независимость будет сохраняться и далее.
Указанные свойства достаточно часто проявляют себя на практике, что и служит оправданием для применения уравнения (1.1). Однако, можно выбрать класс более общих уравнений вида (1.2), для которого также будут иметь место такого рода, или несколько модифицированные, свойства.
А именно, следуя [1], рассмотрим случай, когда вместе с (1.3) выполняются свойства
а также имеет место соотношение унитарности
(1.8)
В указанном случае, аналогично (1.3), также будут существовать независимые уравнения для подсистем вида
(1.9)
В то же время, решения вида (1.7) уже не будут существовать [1]. К обсуждению последней особенности, на первый взгляд не вполне совместимой с нашим опытом, мы не будем возвращаться ниже, поскольку будет показано что эта особенность не всегда является лабораторно наблюдаемой, что и может устранять кажущееся расхождение с опытом.
Для того, чтобы при разбиении гамильтониана на сумму гамильтонианов
подсистем автоматически выполнялось соответствующее разложение унитарных
операторов 
на произведение операторов
подсистем, достаточно чтобы эти унитарные операторы были экспонентами от
антиэрмитовых операторов, пропорциональных гамильтониану:
(1.10)
Если существуют дополнительные аддитивные законы сохранения- законы
сохранения импульса системы, то есть имеется вектор эрмитовых операторов 
, коммутирующих с гамильтонианом, то
более общая форма для операторов будет иметь вид
Сосредоточимся далее на частном случае уравнений (1.2), соответствующем выбору операторов вида (1.11), поскольку в некотором смысле эта модификация
уравнения на матрицу плотности вида (1.1) является наиболее мягкой. Покажем, что в некоторых
видах эксперимента, и в некоторых формах практической деятельности, различия
традиционного и более общего уравнений могут быть даже не фиксируемы, в других
же ситуациях – приводить к довольно неожиданным эффектам, вполне значимым с
практической точки зрения, но так устроенным, что не совсем понятно, как их
можно было бы изучать в современной физической лаборатории.
2. Наблюдаемая динамика физических величин.
Далее мы исследуем уравнения вида
Всюду далее гамильтониан, как и операторы импульса, не будут, для простоты, зависеть от времени – данное ограничение в некоторых отношениях существенно, однако и в его рамках будут получены интересующие нас следствия.
Интересовать нас будет прежде всего вопрос о том, как система подчиняющаяся такому базовому уравнению будет выглядеть «изнутри», с учетом того что и измерительные приборы также подчиняются этому уравнению.
(2.1) эквивалентно системе уравнений с граничными условиями
(2.2) можно представить как описываеющее ситуацию, когда
наряду с основной осью времени 
имеются вспомогательные петли
времени 
, начинающиеся и заканчивающиеся в
один и тот же момент времени , причем, с учетом того что
операторы импульса связаны с инфинитезимальными операторами сдвига, каждая петля
дополнительного квазивремени еще и соответствует перемещению в
пространстве:
Рис.1
Для наблюдателя, упорядочивающего события на основе оси основного
времени , наличие дополнительных петель
времени выразилось бы в том что он фиксировал бы мгновенные скачкообразные
изменения. Ситуация напоминала бы «временную потерю внимания», когда наблюдатель
отвлекается, а вновь вернувшись к рассмотрению обнаруживает что многое
изменилось. Однако, в нашем случае измерительные приборы, принадлежа к системе,
также будут проходить петли времени, и для них все будет выглядеть не так, как
для наблюдателя на основной оси времени.
Далее нам потребуется ввести в рассмотрение особый физический объект – идеальные физические часы. Для большей наглядности сделаем это сначала не для квантовых уравнений (2.2), а для их классического аналога, перейти к которому можно совершенно также как в стандартной статистической физике, сначала используя для матрицы плотности представление Вигнера, а затем осуществляя предельный переход к квазиклассике.
Классический аналог уравнений (2.2) имеет вид
где введен оператор 
, действующий как скобка
Пуассона:
(2.4)
и вместо матрицы плотности рассматривается плотность в фазовом пространстве координат и импульсов.
В классической физике идеальные часы описываются уравнением
Данному уравнению соответствует гамильтониан часов
(2.6)
где введен канонически сопряженный к параметру 
обобщенный импульс 
. Уравнение для имеет вид
Уравнения (2.5), (2.7) совпадают по форме с уравнениями для гармонического осциллятора в переменных действие-угол, однако имеется и отличие, связанное с тем что для гармонического осциллятора одна из переменных определена неоднозначно, с точностью до сдвига на целое число периодов. При наличии в системе идеальных часов уравнения (2.3) примут вид
Введем замену переменной 
на переменную 
, также являющуюся плотностью в
фазовом пространстве, и связанную с соотношением
а также переменную 
, аналогичным образом связанную с
:
(2.10)
Во вновь введенных переменных уравнение (2.8) упростится, в частности, исчезнет описывающий
структуру физической системы оператор :
Входящее в (2.11) уравнение на имеет очевидное решение, и в
итоге (2.11) примет вид
Рассмотрим теперь процедуру измерения, производимого в соответствии с
показаниями часов. Пусть измеряется величина 
, и в качестве результата измерения
рассматривается среднее:
В (2.13) проводится интегрирование по времени , поскольку полагается что измерение
ведется в согласии с показаниями часов, а не в соответствии с не измеряемым
физическими приборами параметром . В (2.13) входит среднее от распределения в фазовом
пространстве по времени и обобщенному импульсу идеальных часов
Используя соотношение (2.9), можно привести (2.14) к виду
Если в (2.12) 
не зависит от времени , для
(2.16)
можно, исходя из (2.12), получить уравнение
Наконец, (2.15) записывается в виде
среднее же физических величин определяется соотношением
(2.19)
Соотношения (2.17) и (2.18) заслуживают содержательного обсуждения. Если в (2.17) правая часть обращается в ноль, функция 
не зависит от показаний часов, и в
соотношении (2.18) можно узнать обычное решение уравнения Лиувилля, с
фиксированным начальным распределением – если только отждествить показания часов
с «физическим временем». Однако, если правая часть в ноль не обращается,
ситуация будет выглядеть так, как будто имеется стандартная динамика, но в
разные моменты по часам будут фигурировать различные начальные состояния.
Интересно также и то, что в уравнение на эти начальные состояния, (2.17), никакие параметры гамильтониана системы не входят – соответственно, управлять этим кажущимся начальным состоянием обычными физико-техническими средствами не представляется возможным. Кроме того, неясно, как измерять данный эффект – ведь именно переход от рассмотрения ситуации как она исходно представлялась к измерениям с помощью идеальных часов и создал рассматриваемый эффект.
Для того чтобы получить уравнение на , мы предположили независимость от времени . В более общем случае замкнутого уравнения не получилось бы, однако основной вывод о изменении при различных показаниях часов «физически наблюдаемого» прошлого остался бы в силе.
Что касается квантового рассмотрения, то оно приводится в приложении, и ведет к тем же результатам что и классическое.
По видимому, основной результат данной работы состоит в следующем: в поисках модификаций базовых уравнений физики, наименее противоречащих практике и лабораторным измерениям, обнаруживается, что такие «мягкие» обобщения при лабораторном изучении выглядят достаточно необычно- как будто уравнения не изменились, но изменяются, постоянно, кажущиеся начальные условия.
Видимо, правомерен вопрос о том, соответствуют ли обсуждавшиеся «мягкие» обобщения уравнения для матрицы плотности реальной ситуации (в некоем приближении). Как представляется, это трудно исключить, поскольку лабораторные наблюдения такую возможность видимо не отвергают. Что касается выбора между альтернативами – стандартными или же обобщенными уравнениями, формально логически можно сказать что попадание в более широкий класс более вероятно, нежели попадание в узкое подмножество этого класса. Кроме того, возникающая картина кажется не невозможной интуитивно.
Наконец, данные исследования инициированы публикацией [2]. Среди прочего, авторы [2] трактуют возможности актуализации того или иного варианта прошлого, как важную практическую деятельность – более важную, сильнее обуславливающую реальную жизнь, чем например технические разработки. Возможно, приведенный анализ позволяет лучше понять позицию авторов [2].
З. Приложение. Квантовомеханическое рассмотрение.
Приведем здесь квантовые аналоги основных соотношений работы. При введении квантовых идеальных часов возникает матрица плотности на пространстве функций от переменных системы и параметра часов, . Ввиду овыделенной роли параметра часов будем записывать этот параметр явно, как это делается при представлении ядра оператора, а для параметров системы сохраним операторное представление. Поскольку обобщенному импульсу часов, совпадающему с гамильтонианом часов, соответствует оператор , (2.1) при наличии часов превратится в уравнение для матрицы плотности вида
(3.1)
Как видно из процедуры перехода к матрице плотности в представлении Вигнера, классической координате часов соответствует полусумма , тогда как их обобщенному импульсу соответствует фурье- сопряженная переменная к полуразности . Поскольку вновь, как это было при классическом рассмотрении, обобщенный импульс часов никуда не войдет, не будем выписывать явно последнюю переменную. Во вновь введенных переменных вновь можно искать решение в виде аналогичном (2.9)
(3.2)
и для матрицы плотности физически реконструируемого начального состояния получим
где использовано явное выражение для обобщенных импульсов системы , и, таким образом, предполагается что матрица рассматривается в координатном представлении. Соотношение (3.3) вполне аналогично соотношению (2.12).
Литература
1. О сводимости биологии к фундаментальной физике. Биофизика, т.46, №2, 2001, с.351-360.
2. Третье обращение к Человечеству. Сибирская газета, № 40, 1990, с.8-9.